同一笔钱标 6% 还是 6.17%:APR 与 APY 的区别和换算

判断的办法是去产品详情或规则说明里找 APR、APY 这两个缩写,再看多久计一次息、利息会不会自动并入本金。按美国存款披露规则的用法,不反映复利的年利率叫利率,披露时可以另称 APR;APY 把计息频率算了进去:一年只计一次息时两个数相等,计息越频繁、利率越高,APY 比 APR 高得越多。APR 6% 按月计息折成 APY 约 6.17%,按日约 6.18%;APR 20% 按日计息约 22.13%。

美国存款披露规则里的利率、APR 与 APY

两个词都能在美国消费者金融保护局(CFPB)Regulation DD 的定义条款里查到。利率(interest rate)是账户所付利息的年利率,不反映复利;做账户披露时,它除了叫「利率」,还可以另称 annual percentage rate(不是必须),缩写就是 APR。年收益率(annual percentage yield,APY)是一个反映账户所付利息总额的百分比,以利率和 365 天内的复利频率为基础,按这份规则的附录 A 计算。

落到一笔钱上:本金 1,000、APR 6%,一年的单利是 1,000 × 6% = 60。每个月把利息并进本金再计息,12 个月后的利息是 1,000 × (1.005¹² − 1) ≈ 61.68,占本金的 6.17%,这个 6.17% 就是 APY。

这份存款披露规则管的是美国存款机构里由消费者持有、或向消费者提供的存款账户;借钱一侧要用到的 Regulation Z 管的是信贷成本的披露。两份规则的定义和算法可以拿来参照,适用对象不能照搬;你面前那个页面上的缩写按什么算,以它自己的产品说明为准。

APY 怎么从利息、本金和存期天数算出来?

这份规则附录里的通用公式只用三个量:

APY = 100 × [(1 + 利息 ÷ 本金)^{365 ÷ 存期天数} − 1]

• 本金,假定在账户开立时存入的金额;
• 利息,这笔本金在整个存期里赚到的利息总额,填的是金额;
• 存期天数,存期的实际天数。

存期是 365 天,或者账户不设到期日,指数等于 1,公式缩成 APY = 100 × (利息 ÷ 本金)。APY 以一年 365 天为基础表示成年化数字,闰年按 365 天或 366 天算都可以。

公式不问利息是怎么攒出来的:一年计息几次、有没有复利,都已经落在「利息」这个总额里。

算例二只存 182 天,到期利息 30.37 美元,占本金 3.037%。年化时指数取 365 ÷ 182 ≈ 2.0055,1.03037^2.0055 − 1 ≈ 6.18%,相当于把这 182 天的收益率按复利续满一年。只按天数等比例放大的话,3.037% × 365 ÷ 182 ≈ 6.09%,比公式结果低 0.09 个百分点。

不满一年的产品,页面上的 APY 是折成一年后的数,到期到手的仍是存期内那笔利息。算例二里,1,000 美元存 182 天拿回的利息是 30.37 美元;要在一整年里拿到 6.18%,也就是约 61.8 美元,得在到期后把本息按同样条件再存满剩下的 183 天。

按年、按月、按日计息时 APR 对应的 APY

已知 APR 和一年的计息次数 n,每次的利息都并入本金,换算用复利公式:APY = (1 + APR ÷ n)ⁿ − 1。按年计息 n = 1,按月 n = 12,按日 n = 365。

利率低时两种标法差得很少,3% 按日计息只多 0.05 个百分点;到 20%,按月计息多 1.94 个百分点,按日多 2.13 个百分点。计息从按月改成按日,增幅小得多:6% 时是 6.17% 到 6.18%,12% 时是 12.68% 到 12.75%。

6% 的两格能接上前一节两个官方算例的利息额:按月计息一年的利息,第一节已经得出是 61.68;按日计息存 182 天,1,000 × [(1 + 0.06 ÷ 365)¹⁸² − 1] ≈ 30.37。官方算例只列利息额和天数,别的利率和计息方式组合也能得到同样的利息额。

反过来,页面标的是 APY、想知道不含复利的年利率,用 APR = n × [(1 + APY)^{1 ÷ n} − 1]。APY 10%、按月计息,APR = 12 × (1.10^{1 ÷ 12} − 1) ≈ 9.57%;而 APR 10% 按月计息对应的 APY 是 10.47%,两个方向别弄反。

页面只写「年化」时怎么判断它是哪一种?

1. 找缩写。产品详情、规则说明或帮助文档里写的是 APR 还是 APY;两个都出现时,弄清你看到的那个数字对应哪一个。
2. 看计息频率和利息去向。多久计一次息,利息是自动并入本金,还是另外发放、要你自己再存进去。标的是 APR、利息又不并入本金,本金 1,000 一年到手是 1,000 × 6% = 60,比按月复利的 61.68 少 1.68。
3. 拆出带条件的部分。按这份存款披露规则,APY 只反映利息:为开户、维持、续存或增加余额而可能给消费者的奖励(bonus)不算,价值不超过 10 美元的其他对价也不算;金额取决于未来可能发生、也可能不发生的情形的利息或其他收益,同样不计入。页面上的年化如果是基础利率加活动奖励合成的一个数,把两部分分开问清楚,哪部分按天计息,哪部分要满足条件才发。

页面和说明里两个缩写都没出现时,可以拿一段已经记到账上的利息倒推。本金 1,000、满 30 天、利息 4.93:按单利折年,4.93 ÷ 1,000 × 365 ÷ 30 ≈ 6.00%;按前面的通用公式折年,(1 + 4.93 ÷ 1,000)^{365 ÷ 30} − 1 ≈ 6.17%。页面上的数靠近哪一个,是判断它属于哪种标法的线索;利率浮动的产品这样倒推会有偏差。

收益一侧的 APR 和 APY 讲的都是利息。理财产品锁定期间不能卖出、提前赎回要满足什么条件,这类代价不会体现在这两个数里。

借钱时 APR 的一种算法是期利率乘一年的期数

在 Regulation Z 讲 APR 怎么确定的条文里,APR 是信贷成本的一种度量,以年率表示。用期利率计算财务费用的开放式信贷,要披露的 APR 等于期利率乘以一年的期数。拿两个期利率代进去:月利率 1.5%,乘 12 是 18%;日利率 0.05%,乘 365 是 18.25%。

乘法不含复利。本金不变、每期利息都按时还清,一年付出的利息合计是本金的 18%;某一期的利息没还、并进欠款继续计息,实际付出就会超过这个数。月利率 1.5% 的欠款连本带息 12 个月不还,增长是 1.015¹² − 1 ≈ 19.56%,比标出的 18% 多 1.56 个百分点。

这条乘法是开放式信贷这一种情形的算法,别的信贷类型不在本文范围内。

加密市场里也有同样的结构。按分钟计息、利息并进欠款的质押借币,页面标的是年化利率,欠款按分钟复利增长;合约资金费率的年化是单期费率乘一年的结算次数,8 小时结算一次的合约一年 3 × 365 = 1095 次,同样不计复利。